الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y + 0 & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $z$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

أضف $2 x$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.4

أضف $z$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.5

أضف $x$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y + 0 & z - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.6

أضف $y$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y & z - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

خطوة 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) ((y - λ) (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

وسّع $(y - λ) (z - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (x - λ) (y (z - λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.3

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.3.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.3.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.1.2.5

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

اطرح $y z$ من $y z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2} + 0) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.2.2

أضف $- y λ - λ z + λ^{2}$ و $0$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.2.2.3

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x (z - λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 x (- λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 \cdot - 1 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z - 2 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3.2.2

اطرح $x z$ من $2 x z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (1 x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.3.2.3

اضرب $x$ في $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

خطوة 5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x (y - λ))$

خطوة 5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - x (- λ))$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - 1 \cdot - 1 x λ)$

خطوة 5.4.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + 1 x λ)$

خطوة 5.4.2.1.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + x λ)$

خطوة 5.4.2.2

اطرح $x y$ من $2 x y$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (1 x y + x λ)$

خطوة 5.4.2.3

اضرب $x$ في $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أعِد كتابة $- 1 z$ بالصيغة $- z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.2

وسّع $(x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2})$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = x (- y λ) + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - x y λ + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.3

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.3.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - (λ \cdot λ) (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.3.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ^{2} (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.6

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.7

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.7.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - (λ \cdot λ) (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.7.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ^{2} (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - 1 \cdot - 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.10

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.11

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.11.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.11.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.11.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ^{1}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.11.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{2 + 1} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.3.11.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z) - y (- 2 x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y (x λ) + z (x y + x λ)$

خطوة 5.5.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$

خطوة 5.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- y x z$ و $z x y$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y z + 2 y x λ + x y z + z x λ$

خطوة 5.5.2.2

أضف $- x y z$ و $x y z$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0 + z x λ$

خطوة 5.5.2.3

أضف $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ و $0$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + z x λ$

خطوة 5.5.2.4

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- x z λ$ و $z x λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + x z λ$

خطوة 5.5.2.5

أضف $- x z λ$ و $x z λ$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0$

خطوة 5.5.2.6

أضف $- x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ و $0$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$

خطوة 5.5.3

أضف $- x y λ$ و $2 y x λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y λ + 2 x y λ$

خطوة 5.5.3.2

أضف $- x y λ$ و $2 x y λ$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 1 x y λ$

خطوة 5.5.4

اضرب $x$ في $1$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

خطوة 5.5.5

أعِد ترتيب $λ^{2}$ و $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

خطوة 5.5.6

أعِد ترتيب $λ^{2}$ و $z$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} + x y λ$

خطوة 5.5.7

انقُل $- λ^{3}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} + x y λ - λ^{3}$

خطوة 5.5.8

انقُل $z λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + x y λ + z λ^{2} - λ^{3}$

خطوة 5.5.9

انقُل $y λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + x y λ + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

خطوة 5.5.10

أعِد ترتيب $x λ^{2}$ و $x y λ$ .

$p (λ) = x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $λ$ من $x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $λ$ من $x y λ$ .

$λ (x y) + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $λ$ من $x λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $λ$ من $y λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $λ$ من $z λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) - λ^{3} = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $λ$ من $- λ^{3}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

خطوة 7.1.6

أخرِج العامل $λ$ من $λ (x y) + λ (x λ)$ .

$λ (x y + x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

خطوة 7.1.7

أخرِج العامل $λ$ من $λ (x y + x λ) + λ (y λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

خطوة 7.1.8

أخرِج العامل $λ$ من $λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

خطوة 7.1.9

أخرِج العامل $λ$ من $λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2})$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ = 0$

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة $λ$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ = 0$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

خطوة 7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.4.2.2

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = x + y + z$ و $c = x y$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- (x + y + z) \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x y))}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.2

أعِد كتابة ${(x + y + z)}^{2}$ بالصيغة $(x + y + z) (x + y + z)$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{(x + y + z) (x + y + z) - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.3

وسّع $(x + y + z) (x + y + z)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x \cdot x + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.4.1

اضرب $x$ في $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.4.3

اضرب $z$ في $z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.5

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.5.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.5.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.6

أضف $x z$ و $z x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.6.1

أعِد ترتيب $z$ و $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + x z + x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.6.2

أضف $x z$ و $x z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + 2 x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.7

أضف $y z$ و $z y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.3.1.7.1

أعِد ترتيب $z$ و $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.7.2

أضف $y z$ و $y z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 4 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.1.9

أضف $2 x y$ و $4 x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 7.4.2.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$

خطوة 7.4.2.3.3

بسّط $\frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$ .

$λ = \frac{x + y + z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

خطوة 7.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

خطوة 7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$ صحيحة.

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$